ASPECT MATHÉMATIQUE DE LA MÉCANIQUE DU JEU

 

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Arrêtons-nous quelques instants pour considérer la nature des enchères, eu égard à  la description des mains. Deux constatations s'imposent d'emblée à  nous. La première a trait aux limites de ce langage que constituent les enchères. Le lexique du bridge se compose en effet de 15 mots pouvant former 38 phrases. Les 15 mots sont : 1,2,3,4,5,6,7, Sans Atout (SA), Pique (, P ou Pi), Coeur (, C ou Co), Carreau ( ou K) et Trèfle (, T ou Tr), Passe, Contre, Surcontre. Les 38 phrases sont formées par une combinaison de chiffre et de couleur, comme il a été mentionné plus haut, plus trois phrases formées chacune d'un seul mot : Passe, Contre, Surcontre.

Or, ce maigre lexique doit décrire une quantité astronomique de mains. Les personnes qui se souviennent de leurs mathématiques se souviendront peut-être que le nombre théorique de mains que peut générer un paquet de cartes s'exprime par la formule suivante :

52!

 ______

39!.13!

Soit : Factoriel de 52 divisé par le produit de factoriel de 39 par factoriel de 13. Soit la jolie somme de 635 milliards de mains (plus exactement : 635, 013,559,600).

Le problème saute aux yeux. Comment, avec une langue composée de 15 mots et de 38 phrases, exprimer efficacement ces milliards de mains ?! Un premier élément de réponse réside dans la tendance à  la moyenne. Les distributions marginales sont relativement rares. Par exemple, une main tricolore (soit (4441) ou (5440) ) se rencontre à une fréquence inférieure à 5%; les mains sans singleton constituent un peu plus de la moitié des mains. Deuxième élément de réponse : il faudra faire flèche de tout bois, c'est-à-dire, entre autres, utiliser la séquence elle-même comme paramètre de signification. C'est-à -dire que la phrase employée par le joueur s'articule dans un paragraphe bâti par les quatre joueurs autour de la table. Le moment où¹ telle des 38 phrases est placée constituera un aspect essentiel de la signification qu'on veut véhiculer au partenaire. En somme, l'intelligence doit compenser pour l'imperfection de l'instrument.

Il reste intéressant d'examiner le nombre de séquences d'enchères. la formule mathématique qui l'établit est de même type que celle utilisée plus haut pour le nombre de mains. Mais tenez-vous bien ! Ce nombre est de 1,270736289139524 ⁴⁷, c'est-à-dire 1,2707... multiplié par 10 exposant 47. Pour les lecteurs moins férus ès mathématiques, c'est environ 635 milliards (approximatif des distributions possibles, que nous venons de considérer) à la quatrième puissance. Soit 635 milliards multiplié quatre fois de suite par lui-mme. Pour les amateurs de formules, voici le cheminement du calcul. Il tient compte de la distinction entre les "quantitatifs" (les 35 phrases obtenues par le produit d'un nombre de 1 à 7 et les cinq dominations, SA, pique, coeur, carreau, trèfle) et les "qualitatifs" (les trois phrases uni-nominales : passe, contre, surcontre; soit P, X, XX).

Dans un premier temps (plus bas, le "1)"), évaluons la quantité de séquences sans les qualitatifs. Nous arrivons au nombre impressionnant de 34 359 738 367. Soit plus de 34 milliards. Dans un deuxième temps, apportons un élément de correction par l'ajout des qualitatifs intermédiaires, soit ceux qui se situent entre des quantitatifs ("2)"). Nous obtenons 4,598⁴⁵. Troisième étape : ajoutons les qualitatifs initiaux (soit P P P P, i.e., les quatre passes consécutifs, plus les trois autres combinaisons : P, PP, PPP). Comme on le voit, cela ajoute environ quatre fois plus de possibilités par rapport à  la deuxième étape : 1,839⁴⁶ versus 4,598⁴⁵. La quatrième étape tient compte des qualitatifs finals (sauf pour 7SA) : 1,287...E47. Enfin, cinquième étape, on intègre les qualitatifs finals de 7SA : 1,2707⁴⁷.

Les matheux établiront donc le nombre d'enchères possibles comme suit :

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